Question

已知圓心在第二象限內(nèi)，半徑為2

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的圓O₁與x軸交于（-5，0）和（3，0）兩點(diǎn)．
（1）求圓O₁的方程；
（2）求圓O₁的過點(diǎn)A（1，6）的切線方程；
（3）已知點(diǎn)N（9，2）在（2）中的切線上，過點(diǎn)A作O₁N的垂線，垂足為M，點(diǎn)H為線段AM上異于兩個端點(diǎn)的動點(diǎn)，以點(diǎn)H為中點(diǎn)的弦與圓交于點(diǎn)B，C，過B，C兩點(diǎn)分別作圓的切線，兩切線交于點(diǎn)P，求直線PO₁的斜率與直線PN的斜率之積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：（1）由題知圓與x軸交于（-5，0）和（3，0），圓心可設(shè)為（-1，a），又半徑為2

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，由此能求出圓的方程．
（2）由題知，點(diǎn)A（1，6）在圓上，所以（1+1）x+（6-2）（y-2）=20，由此能求出圓的過A點(diǎn)的切線方程．
（3）由題知，P，B，O₁，C四點(diǎn)共圓，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（a，b），則P，B，O₁，C四點(diǎn)所在圓的方程為（x+1）（x-a）+（y-2）（y-b）=0，由此能求出直線PO₁的斜率與直線PN的斜率之積．

解答： 解：（1）由題知圓與x軸交于（-5，0）和（3，0），
所以圓心可設(shè)為（-1，a），又半徑為2

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，
則（3+1）²+b²=20，得b=2（-2舍），
所以圓的方程為（x+1）²+（y-2）²=20．…（4分）
（2）由題知，點(diǎn)A（1，6）在圓上，
所以（1+1）x+（6-2）（y-2）=20，
所以圓的過A點(diǎn)的切線方程為：x+2y=13．…（8分）
（3）由題知，P，B，O₁，C四點(diǎn)共圓，
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（a，b），
則P，B，O₁，C四點(diǎn)所在圓的方程為（x+1）（x-a）+（y-2）（y-b）=0，…（10分）
與圓（x+1）²+（y-2）²=20聯(lián)立，
得直線BC的方程為（1+a）x+（b-2）y+a-2b-15=0，…（12分）
又直線AM的方程為x=1，聯(lián)立兩直線方程，
H點(diǎn)(1，

14+2b-2a

b-2

)，
所以kPO1=kHO1=

14+2b-2a b-2 -2

2

=

9-a

b-2

，
又kPN=

b-2

a-9

，
所以kPO1•kPN=-1．…（16分）

點(diǎn)評：本題考查圓的方程的求法，考查圓的切線方程的求法，考查兩直線斜率之積的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．