Question

13．已知函數(shù)f（x）=acosx+$\frac{1}{2}$sinx+1的一個(gè)零點(diǎn)是-$\frac{5π}{6}$．
（1）求a的值，并求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)f（α）=$\frac{9}{5}$，且$\frac{π}{6}$＜α＜$\frac{2π}{3}$時(shí)，求sin（2α+$\frac{2π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可得acos（-$\frac{5π}{6}$）+$\frac{1}{2}$sin（-$\frac{5π}{6}$）+1=0，利用特殊角的三角函數(shù)值即可解出a的值，利用兩角和的正弦函數(shù)公式，特殊角的三角函數(shù)值可求f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$）+1，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，解關(guān)于x的不等式即可得到f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由已知可求sin（α+$\frac{π}{3}$）的值，根據(jù)角的范圍及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cos（α+$\frac{π}{3}$）的值，利用二倍角的正弦函數(shù)公式即可計(jì)算得解．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=acosx+$\frac{1}{2}$sinx+1的一個(gè)零點(diǎn)是-$\frac{5π}{6}$．
∴acos（-$\frac{5π}{6}$）+$\frac{1}{2}$sin（-$\frac{5π}{6}$）+1=0，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$+1=0，
∴解得：a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx+$\frac{1}{2}$sinx+1=sin（x+$\frac{π}{3}$）+1，
∴令2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：2kπ-$\frac{5π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[2kπ-$\frac{5π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（2）∵f（α）=sin（α+$\frac{π}{3}$）+1=$\frac{9}{5}$，可得：sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$，
又∵$\frac{π}{6}$＜α＜$\frac{2π}{3}$，可得：α+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴cos（α+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{3}{5}$，
∴sin（2α+$\frac{2π}{3}$）=2sin（α+$\frac{π}{3}$）cos（α+$\frac{π}{3}$）=2×$\frac{4}{5}×（-\frac{3}{5}）$=-$\frac{24}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 本題給出三角函數(shù)式，求實(shí)數(shù)a的值并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，著重考查了三角恒等變換、不等式的解法和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．