Question

15．已知直線y=kx+3與圓（x-2）²+（y-3）²=4相交于M，N兩點，點$|MN|≥2\sqrt{3}$，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 利用垂徑定理及勾股定理表示出弦長|MN|，列出關(guān)于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范圍．

解答 解：由圓的方程得：圓心（2，3），半徑r=2，
∵圓心到直線y=kx+3的距離d=$\frac{|2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，|MN|≥2$\sqrt{3}$，
∴2$\sqrt{4-\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}+1}}$≥2$\sqrt{3}$，
變形整理得4k²+4-4k²≥3k²+3，
解得：-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤k≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴k的取值范圍是[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]．

點評 本題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，考查垂徑定理及勾股定理，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．