Question

16．已知函數(shù)f（x）=x²-2ln|x|與g（x）=sin（ωx+φ）有兩個公共點，則在下列函數(shù)中滿足條件的周期最大的g（x）=（　　）

• A． sin（2πx-$\frac{π}{2}$）
• B． sin（$\frac{π}{2}$x-$\frac{π}{2}$）
• C． sin（πx-$\frac{π}{2}$）
• D． sin（πx+$\frac{π}{2}$）

Answer 1

分析 利用導數(shù)研究函數(shù)f（x）的最值，畫出f（x），g（x）的圖象，利用f（x）與g（x）的圖象有兩個公共點，建立條件關系，結合周期公式和最值點，即可得到結論．

解答 解：f（x）定義域為x≠0，
①當x＞0時，f（x）=x²-2ln|x|=x²-2lnx，
f'（x）=2x-$\frac{2}{x}$，
令f'（x）=0，解得x=1，
由f'（x）＜0，則0＜x＜1，
由f'（x）＞0，則x＞1，
則當x=1時，f（x）取的最小值，最小值為f（1）=1；
②當x＜0時，f（x）=x²-2ln|x|=x²+2lnx，
則f'（x）=2x+$\frac{2}{x}$，
令f'（x）=0，解得x=-1，
由f'（x）＜0，則x＜-1，
由f'（x）＞0，則-1＜x＜0，
則當x=-1時，函數(shù)f（x）取最小值，最小值為f（-1）=1．
綜合①②所述：f（x）的最小值為f（-1）=f（1）=1，
∵只有2個公共點，
∴g（x）最大值為1．
則最長周期為|（-1）-1|=2，即T=$\frac{2π}{ω}$=2，即ω=π，
則g（1）=sin（π+φ）=1，
即π+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，即φ=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z．
則周期最大的g（x）=sin（πx+2kπ-$\frac{π}{2}$）=sin（πx-$\frac{π}{2}$），k∈Z，
故選：C．

點評 本題主要考查函數(shù)圖象的應用，根據導數(shù)研究函數(shù)的最值是解決本題的關鍵，綜合性較強，屬于中檔題．