Question

8．蘇州市舉辦“廣電狂歡購物節(jié)”促銷活動，某廠商擬投入適當(dāng)?shù)膹V告費，對所售產(chǎn)品進行促銷，經(jīng)調(diào)查測算，該促銷產(chǎn)品在狂歡購物節(jié)的銷售量p萬件與廣告費用 x萬元滿足p=3-$\frac{2}{x+1}$（其中 0≤x≤a，a為正常數(shù)）．已知生產(chǎn)該批產(chǎn)品 p萬件還需投入成本（10+2p）萬元（不含廣告費用），產(chǎn)品的銷售價格定為（4+$\frac{20}{p}}$）元/件，假定廠商生產(chǎn)的產(chǎn)品恰好能夠售完．
（1）將該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為廣告費用x萬元的函數(shù)；
（2）問廣告費投入多少萬元時，廠商的利潤最大？

Answer 1

分析 （1）由題意知，$y=（{4+\frac{20}{p}}）p-x-（{10+2p}）$，將$p=3-\frac{2}{x+1}$代入化簡即可得出．
（2）y′=$-\frac{（x+3）（x-1）}{（x+1）^{2}}$，對a分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）由題意知，$y=（{4+\frac{20}{p}}）p-x-（{10+2p}）$，將$p=3-\frac{2}{x+1}$代入化簡得：$y=16-\frac{4}{x+1}-x（{0≤x≤a}）$．
（2）$y'=-1-\frac{-4}{{{{（{x+1}）}^2}}}=\frac{{-{{（{x+1}）}^2}+4}}{{{{（{x+1}）}^2}}}=-\frac{{{x^2}+2x-3}}{{{{（{x+1}）}^2}}}=-\frac{{（{x+3}）（{x-1}）}}{{{{（{x+1}）}^2}}}$．
①當(dāng)a≥1時，x∈（0，1）時，y'＞0，所以函數(shù)$y=16-x-\frac{4}{x+1}$在（0，1）上單調(diào)遞增；
x∈（1，a）時，y'＜0，所以函數(shù)$y=16-x-\frac{4}{x+1}$在（1，a）上單調(diào)遞減，
∴促銷費用投入 1萬元時，廠家的利潤最大．
②當(dāng)a＜1時，因為函數(shù)$y=16-x-\frac{4}{x+1}$在（0，1）上單調(diào)遞增，$y=16-x-\frac{4}{x+1}$在[0，a]上單調(diào)遞增，
所以x=a時，函數(shù)有最大值．即促銷費用投入a萬元時，廠家的利潤最大．
綜上所述，當(dāng) a≥1時，促銷費用投入 1萬元，廠家的利潤最大；當(dāng)a＜1時，促銷費用投入a萬元，廠家的利潤最大．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．