Question

8．蘇州市舉辦“廣電狂歡購(gòu)物節(jié)”促銷(xiāo)活動(dòng)，某廠商擬投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi)，對(duì)所售產(chǎn)品進(jìn)行促銷(xiāo)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該促銷(xiāo)產(chǎn)品在狂歡購(gòu)物節(jié)的銷(xiāo)售量p萬(wàn)件與廣告費(fèi)用 x萬(wàn)元滿足p=3-$\frac{2}{x+1}$（其中 0≤x≤a，a為正常數(shù)）．已知生產(chǎn)該批產(chǎn)品 p萬(wàn)件還需投入成本（10+2p）萬(wàn)元（不含廣告費(fèi)用），產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格定為（4+$\frac{20}{p}}$）元/件，假定廠商生產(chǎn)的產(chǎn)品恰好能夠售完．
（1）將該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為廣告費(fèi)用x萬(wàn)元的函數(shù)；
（2）問(wèn)廣告費(fèi)投入多少萬(wàn)元時(shí)，廠商的利潤(rùn)最大？

Answer 1

分析 （1）由題意知，$y=（{4+\frac{20}{p}}）p-x-（{10+2p}）$，將$p=3-\frac{2}{x+1}$代入化簡(jiǎn)即可得出．
（2）y′=$-\frac{（x+3）（x-1）}{（x+1）^{2}}$，對(duì)a分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）由題意知，$y=（{4+\frac{20}{p}}）p-x-（{10+2p}）$，將$p=3-\frac{2}{x+1}$代入化簡(jiǎn)得：$y=16-\frac{4}{x+1}-x（{0≤x≤a}）$．
（2）$y'=-1-\frac{-4}{{{{（{x+1}）}^2}}}=\frac{{-{{（{x+1}）}^2}+4}}{{{{（{x+1}）}^2}}}=-\frac{{{x^2}+2x-3}}{{{{（{x+1}）}^2}}}=-\frac{{（{x+3}）（{x-1}）}}{{{{（{x+1}）}^2}}}$．
①當(dāng)a≥1時(shí)，x∈（0，1）時(shí)，y'＞0，所以函數(shù)$y=16-x-\frac{4}{x+1}$在（0，1）上單調(diào)遞增；
x∈（1，a）時(shí)，y'＜0，所以函數(shù)$y=16-x-\frac{4}{x+1}$在（1，a）上單調(diào)遞減，
∴促銷(xiāo)費(fèi)用投入 1萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大．
②當(dāng)a＜1時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)$y=16-x-\frac{4}{x+1}$在（0，1）上單調(diào)遞增，$y=16-x-\frac{4}{x+1}$在[0，a]上單調(diào)遞增，
所以x=a時(shí)，函數(shù)有最大值．即促銷(xiāo)費(fèi)用投入a萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大．
綜上所述，當(dāng) a≥1時(shí)，促銷(xiāo)費(fèi)用投入 1萬(wàn)元，廠家的利潤(rùn)最大；當(dāng)a＜1時(shí)，促銷(xiāo)費(fèi)用投入a萬(wàn)元，廠家的利潤(rùn)最大．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，考查了分類(lèi)討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．