Question

6．如圖，已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD的邊長為2的菱形，∠BCD=120°，AP=BP，∠APB=90°，PC=2，過BC作平面BCEF，交PD于點E，交AP于點F．
（1）求證：AD∥EF；
（2）求二面角B-PC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題設(shè)條件推導(dǎo)出BC∥平面PAD，EF?平面PAD，且BC與EF共面，由此能證明AD∥EF．
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，利用向量法進行求解

解答 證明：（1）∵底面ABCD是邊長為2的菱形，∴AD∥BC，
∵AD?平面PAD，BC?平面PAD，∴BC∥平面PAD，
∵過BC作平面BCEF，交PD于點E，交AP于點F，
∴EF?平面PAD，且BC與EF共面，
∵BC∥平面PAD，EF?平面PAD，且BC與EF共面，
∴AD∥EF．
解：（2）：∵底面ABCD是邊長為2的菱形，AP=BP，
∴取AB的中點O，則PO⊥AB，CO⊥AB，
∵PO∩OC=0，∴AB⊥面ABC，∵PC?面ABC，∴AB⊥PC；
底面ABCD是邊長為2的菱形，AP=BP，
取AB的中點O，則PO⊥AB，CO⊥AB，
∵PO∩OC=0，∴AB⊥面ABC，∵PC?面ABC，∴AB⊥PC，
∵底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BCD=120°，∠APB=90°，PC=2，
∴OA=OB=1，OC=$\sqrt{3}$，OP=OA=1，
則OP²+OC²=1+3=4=PC²，即△POC為直角三角形，
則PO⊥OC，則PC⊥面ABC，
建立以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA，OC，OP分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：
則A（1，0，0），B（-1，0，0），C（0，$\sqrt{3}$，0），P（0，0，1），
則$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{BA}$=（2，0，0），$\overrightarrow{PC}$=（0，$\sqrt{3}$，-1），$\overrightarrow{BP}$=（1，0，1），
設(shè)$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）為平面BPC的法向量，
則由$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{CD}$=0，且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{PC}$=0得，$\left\{\begin{array}{l}{2x=0}\\{\sqrt{2}y-z=0}\end{array}\right.$，
令y=1，則z=$\sqrt{3}$，x=0，$\overrightarrow{m}$=（0，1，$\sqrt{3}$）
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（a，b，c）為平面PCD的一個法向量，
由$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{BP}$=0，且$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{PC}$=0得，$\left\{\begin{array}{l}{a+c=0}\\{\sqrt{3}b-c=0}\end{array}\right.$，
令y=$\sqrt{3}$，則z=3，x=-3，$\overrightarrow{n}$=（-3，$\sqrt{3}$，3），
則cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}+3\sqrt{3}}{\sqrt{4}•\sqrt{21}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
∵二面角B-PC一D的為鈍二面角，
∴二面角B-PC-D的余弦值為-$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

點評 本小題主要考查直線垂直的判斷和二面角的求解，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，綜合性較強，運算量較大．