【題目】如圖已知橢圓，是長軸的一個端點，弦過橢圓的中心，且，.

（Ⅰ）求橢圓的方程：

（Ⅱ）設(shè)為橢圓上異于且不重合的兩點，且的平分線總是垂直于軸，是否存在實數(shù)，使得，若存在，請求出的最大值，若不存在，請說明理由.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）易知根據(jù)條件確定形狀，即得C坐標，代入橢圓方程可得，（Ⅱ）即先判斷是否成立，設(shè)的直線方程，與橢圓聯(lián)立方程組解得坐標，根據(jù)、關(guān)系可得坐標，利用斜率坐標公式即得斜率，進而判斷成立，然后根據(jù)兩點間距離公式計算長度最大值，即可得的最大值.

（Ⅰ）∵， ∴

又，即，2

∴是等腰直角三角形

∵， ∴

因為點在橢圓上，∴∴

∴所求橢圓方程為

（Ⅱ）對于橢圓上兩點、，∵的平分線總是垂直于軸

∴與所在直線關(guān)于對稱，設(shè)且，則，

則的直線方程 ①

的直線方 ②

將①代入得 ③

∵在橢圓上，∴是方程③的一個根，∴

以替換，得到.

因為,所以∴ ∴，∴存在實數(shù)，使得

當時即時取等號，

又，

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知直線與圓心為坐標原點的圓相切．

（1）求圓的方程;

（2）過點的直線與圓交于 兩點,若弦長,求直線的斜率的值;

（3）過點作兩條相異直線分別與圓相交于,且直線和直線的傾斜角互補,試著判斷向量和是否共線?請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知直線與拋物線相交于兩個不同點，點是拋物線在點處的切線的交點。

（1）若直線經(jīng)過拋物線的焦點，求證：；

（2）若，且直線經(jīng)過點，求的最小值。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知三棱錐中，平面平面ABC，，，BD=3，AD=1，AC=BC，M為線段AB的中點.

（Ⅰ）求證：平面ACD；

（Ⅱ）求異面直線MD與BC所成角的余弦值；

（Ⅲ）求直線MD與平面ACD所成角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設(shè)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的導(dǎo)數(shù)f′(x)滿足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常數(shù)a，b∈R.

(1)求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；

(2)設(shè)g(x)＝f′(x)e－x，求函數(shù)g(x)的極值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，為的中點，是棱上的點，，，．

（1）求證：平面平面；

（2）若為棱的中點，求異面直線與所成角的余弦值；

（3）若二面角大小為，求的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成的三角形面積為.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設(shè)與圓O：相切的直線l交橢圓C于A，B兩點（O為坐標原點），求△AOB面積的最大值。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，點E，F分別是BC，PC的中點，用向量方法解決以下問題：

（1）求異面直線AE與PD所成角的大�。�

（2）若AB＝AP，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某市有一特色酒店由一些完全相同的帳篷構(gòu)成.每座帳篷的體積為立方米，且分上下兩層，其中上層是半徑為（單位：米）的半球體，下層是半徑為米，高為米的圓柱體（如圖）.經(jīng)測算，上層半球體部分每平方米建造費用為2千元，下方圓柱體的側(cè)面、隔層和地面三個部分平均每平方米建造費用為3千元，設(shè)每座帳篷的建造費用為千元.

參考公式：球的體積，球的表面積，其中為球的半徑.

（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式，并指出該函數(shù)的定義域；

（2）當半徑為何值時，每座帳篷的建造費用最小，并求出最小值.

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