Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，點E，F分別是BC，PC的中點，用向量方法解決以下問題：

（1）求異面直線AE與PD所成角的大��；

（2）若AB＝AP，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值的大�。�

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）推導出，，，從而平面，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線與所成角的大�。�

（2） 求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值的大�。�

（1）由四邊形為菱形，，

可得為正三角形．因為為的中點，所以．

又，因此．

以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，如圖：

設，，則，0，，，0，，，0，，，2，．

，0，，，2，，

，

異面直線與所成角的大小為．

（2），

設，則，

，0，，，0，，，1，，，0，，，，．

，0，，，，，，，

設平面的法向量，，，

則，取，得，2，，

設平面的法向量，，，

則，取，得，，，

設二面角的平面角為，

則，

二面角的余弦值為．