Question

9．已知函數(shù)$f（x）=ln\frac{1+x}{1-x}+{x^3}$，若函數(shù)y=f（x）+f（k-x²）有兩個零點，則實數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． $（{-\frac{1}{4}，+∞}）$
• B． $（{-\frac{1}{4}，0}）$
• C． $（{-\frac{1}{4}，2}）$
• D． $[{-\frac{1}{4}，2}]$

Answer 1

分析 判斷函數(shù)$f（x）=ln\frac{1+x}{1-x}+{x^3}$在區(qū)間（-1，1）上單增，且是奇函數(shù)；利用y=f（x）+f（k-x²）有兩個零點，等價于方程x²-x-k=0在區(qū)間（-1，1）上有兩個零點，列出不等式組求解即可．

解答 解：根據(jù)題意，可知$f（x）=ln\frac{1+x}{1-x}+{x^3}$在區(qū)間（-1，1）上單增，且是奇函數(shù)；
由函數(shù)y=f（x）+f（k-x²）有兩個零點，
等價于方程x²-x-k=0在區(qū)間（-1，1）上有兩個零點，
令g（x）=x²-x-k，則滿足$\left\{\begin{array}{l}△＞0\\ g（-1）＞0\\ g（1）＞0\end{array}\right.$，得$-\frac{1}{4}＜k＜0$．
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的零點判定定理的應用，考查計算能力．