Question

3．已知函數(shù)f（x）=cos（$\frac{π}{2}$-x）•cos（x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
（1）當(dāng)x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]時，討論f（x）的單調(diào)性，并求函數(shù)f（x）的值域；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{3}$個單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{2}$倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）的表達(dá)式圖象的對稱軸方程．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及兩角和差的余弦公式結(jié)合輔助角公式進(jìn)行化簡，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和值域之間的關(guān)系進(jìn)行求解．
（2）根據(jù)三角函數(shù)的圖象關(guān)系求出g（x）的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的對稱性進(jìn)行求解即可．

解答 解：f（x）=cos（$\frac{π}{2}$-x）•cos（x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=sinx•（$\frac{1}{2}$cosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{2}$sinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$
=$\frac{1}{4}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\frac{1-cos2x}{2}$）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{4}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$cos2x=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（1）當(dāng)x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，則2x∈[$-\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
則當(dāng)2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]，即x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{12}$]時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]，即x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{6}$]時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
∵2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，∴當(dāng)2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)f（x）取得最大值為$\frac{1}{2}$，
當(dāng)2x+$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{3}$時，函數(shù)f（x）取得最小值為$\frac{1}{2}$×（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
即函數(shù)的值域?yàn)閇-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{1}{2}$]．
（2）函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{3}$個單位后，得到y(tǒng)=$\frac{1}{2}$sin[2（x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{3}$]=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
然后再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{2}$倍（縱坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)=$\frac{1}{2}$sin（4x-$\frac{π}{3}$）．
即g（x）=$\frac{1}{2}$sin（4x-$\frac{π}{3}$）．
由4x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+kπ，得x=$\frac{5π}{24}$+$\frac{kπ}{4}$，k∈Z，
即g（x）的對稱軸為x=$\frac{5π}{24}$+$\frac{kπ}{4}$，k∈Z．

點(diǎn)評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)的公式以及輔助角公式化簡求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算能力．