Question

對(duì)任意x、y，f（x）滿足f（x+y）=f（x）+f（y）且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0，又f（1）=-2．
（1）求證：f（x）是R上的減函數(shù)；
（2）若?x∈R，不等式f（ax²）-2f（x）＜f（x）+4恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x=y=0，得到f（0）=0，令y=-x，則f（x）為奇函數(shù)，令x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，則f（x₂-x₁）＜0，即有f（x₂）+f（-x₁）＜0，即可得證；
（2）由于f（1）=-2，得到f（-2）=4．原不等式即為f（ax²）＜3f（x）+f（-2），由條件即得f（ax²）＜f（3x-2），再由單調(diào)性，得到不等式恒成立，應(yīng)用判別式小于0，即可得到a的取值范圍．

解答： （1）證明：由于f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=y=0，則f（0）=2f（0），f（0）=0，
令y=-x，則f（0）=f（x）+f（-x）=0，則f（x）為奇函數(shù)，
令x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，則f（x₂-x₁）＜0，即有f（x₂）+f（-x₁）＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0，
故f（x）是R上的減函數(shù)；
（2）解：由于f（1）=-2，則f（-1）=2，f（-2）=4．
f（ax²）-2f（x）＜f（x）+4即為f（ax²）＜3f（x）+f（-2），
即有f（ax²）＜f（3x-2），
由于f（x）是R上的減函數(shù)，則ax²＞3x-2恒成立，
則a＞0，且9-8a＜0，故a＞

9

8

．
故a的取值范圍是（

9

8

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及應(yīng)用，考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性及應(yīng)用，考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，屬于中檔題．