Question

4．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，（n+1）a_n+1=2（a₁+a₂+…+a_n）（n∈N⁺），則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是（　�。�

• A． a_n=$\frac{n+1}{3}$
• B． a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{n+2}{4}，n≥2}\end{array}\right.$
• C． a_n=$\frac{n+1}{2}$
• D． a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{n+1}{3}，n≥2}\end{array}\right.$

Answer 1

分析 設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，根據(jù)a₁=1，（n+1）a_n+1=2（a₁+a₂+…+a_n）=2S_n（n∈N⁺），可得a₂=1，當(dāng)n≥2時(shí)，可得2a_n=（n+1）a_n+1-na_n，化為：$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+2}{n+1}$．再利用“累乘求積”方法即可得出．

解答 解：設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，∵a₁=1，（n+1）a_n+1=2（a₁+a₂+…+a_n）=2S_n（n∈N⁺），
∴a₂=1，當(dāng)n≥2時(shí)，na_n=2S_n-1，可得2a_n=（n+1）a_n+1-na_n，化為：$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+2}{n+1}$．
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}•{a}_{2}$=$\frac{n+1}{n}•\frac{n}{n-1}$•…•$\frac{4}{3}×$1=$\frac{n+1}{3}$，
綜上可得：a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{n+1}{3}，n≥2}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、“累乘求積”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．