Question

12．如圖，多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為3的正方形，△FBC中BC邊上的高為FH，EF⊥FH，EF∥AB，
（1）求證：平面FBC⊥平面ABCD；
（2）若FH=2，EF=$\frac{3}{2}$，求該多面體的體積．

Answer 1

分析 （1）推導出FH⊥BC，F(xiàn)H⊥AB，從而FH⊥平面ABCD，由此能證明平面FBC⊥平面ABCD．
（2）連結BE，CE，該多面體的體積：V_ABCDEF=V_E-ABCD+V_E-BCF，由此能求出結果．

解答 證明：（1）∵多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為3的正方形，
△FBC中BC邊上的高為FH，EF⊥FH，EF∥AB，
∴FH⊥BC，F(xiàn)H⊥AB，
∵BC∩AB=B，∴FH⊥平面ABCD，
∵FH?平面FBC，∴平面FBC⊥平面ABCD．
解：（2）連結BE，CE，
∵FH=2，EF=$\frac{3}{2}$，EF⊥FH，EF∥AB，AB⊥BC，
∴EF⊥BC，∵BC∩FH=H，∴BC⊥平面BCF，
∴該多面體的體積：
V_ABCDEF=V_E-ABCD+V_E-BCF
=$\frac{1}{3}×{S}_{正方形ABCD}×FH+\frac{1}{3}×{S}_{△BCF}×EF$
=$\frac{1}{3}×（AB×BC）×FH$+$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×BC×FH）×EF$
=$\frac{1}{3}×3×3×2$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×2×\frac{3}{2}$=$\frac{15}{2}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查多面體的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．