Question

2．如果函數(shù)f（x）=ax²+2x+a²-3在區(qū)間[2，4]上具有單調(diào)性，則實(shí)數(shù)a取值范圍是$（{-∞，-\frac{1}{2}}]∪[-\frac{1}{4}，+∞]$．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）=ax²+2x+a²-3在區(qū)間[2，4]上具有單調(diào)性，結(jié)合二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對a進(jìn)行分類討論，可得答案．

解答 解：a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）=ax²+2x+a²-3的圖象是開口朝上，且以x=$-\frac{1}{a}$為對稱軸的拋物線，
如果函數(shù)f（x）=ax²+2x+a²-3在區(qū)間[2，4]上具有單調(diào)性，
則$-\frac{1}{a}$≤2，或$-\frac{1}{a}$≥4，
解得：a∈$（-∞，-\frac{1}{2}]∪[-\frac{1}{4}，0）$
a=0時(shí)，f（x）=2x-3區(qū)間[2，4]上具有單調(diào)性，滿足條件，
a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）=ax²+2x+a²-3的圖象是開口朝上，且以x=$-\frac{1}{a}$為對稱軸的拋物線，
此時(shí)$-\frac{1}{a}$＜2恒成立，故函數(shù)f（x）=ax²+2x+a²-3在區(qū)間[2，4]上具有單調(diào)性，
綜上所述，a∈$（{-∞，-\frac{1}{2}}]∪[-\frac{1}{4}，+∞]$，
故答案為：$（{-∞，-\frac{1}{2}}]∪[-\frac{1}{4}，+∞]$

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．