Question

10．過（4，0）的直線與拋物線y²=4x交于A（x₁y₁），B（x₂，y₂）兩點．
（1）求證：x₁x₂，y₁y₂均為定值．
（2）求證：以線段AB為直徑的圓經過一定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

分析 （1）過點P（4，0）且斜率為k的直線l的方程為：y=k（x-4）．聯(lián)立拋物線方程，由韋達定理可得x₁•x₂=16，y₁•y₂=-16，又由直線斜率不存在時，x₁•x₂=16，y₁•y₂=-16也成立，可得結論；
（2）由圖形關于x軸對稱，得定點在x軸上，設定點坐標為K（m，0），可得m=0，即以線段AB為直徑的圓經過必過原點（0，0）．

解答 證明：過點P（4，0）且斜率為k的直線l的方程為：y=k（x-4）．…（3分）
把y=k（x-4）代入y²=4x，消去y得 k²x²-（8k²+4）x+16k²=0，
由于直線與拋物線交于不同兩點，
故k²≠0且△＞0，
x₁•x₂=16，而y₁•y₂＜0，
∴y₁•y₂=-16．…（8分）
當過點P（4，0）且斜率不存在時，也滿足x₁•x₂=16，y₁•y₂=-16
綜上可得：x₁x₂，y₁y₂均為定值．
（2）由圖形關于x軸對稱，得定點在x軸上，設定點坐標為K（m，0），
①當直線AB的斜率不存在時，設直線AB方程為x=2，
求得A（4，4），B（4，-4），
顯然，以AB為直徑的圓恒過定點（0，0），（8，0）；
②當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=k（x-4），代入y²=4x：
得k²x²-（8k²+4）x+16k²=0；
設A（x₁，2$\sqrt{{x}_{1}}$），B（x₂，-2$\sqrt{{x}_{2}}$），
由根與系數(shù)的關系得，x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=16；
則y₁+y₂=k（x₁+x₂-8）=$\frac{4}{k}$，|AB|=$\frac{4\sqrt{（4{k}^{2}+1）（{k}^{2}+1）}}{{k}^{2}}$，
此時圓心坐標為：（$\frac{4{k}^{2}+2}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$），半徑r=$\frac{2\sqrt{（4{k}^{2}+1）（{k}^{2}+1）}}{{k}^{2}}$，
此時圓心到原點的距離等于半徑，
故以線段AB為直徑的圓經過必過原點（0，0）．

點評 本題考查了拋物線的定義域幾何性質的應用問題，也考查了直線方程、圓的方程的應用問題，考查了用代數(shù)的方法研究圓錐曲線的性質的問題，考查了數(shù)形結合的思想與方程的思想，是綜合性題目．