Question

10．已知雙曲線$\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，P為雙曲線右支上一點，點Q的坐標(biāo)為（-2，3），則|PQ|+|PF₁|的最小值為5+$2\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由雙曲線方程求出a及c的值，利用雙曲線定義把|PQ|+|PF₁|轉(zhuǎn)化為|PQ|+|PF₂|+$2\sqrt{3}$，連接QF₂交雙曲線右支于P，則此時|PQ|+|PF₂|最小等于|QF₂|，由兩點間的距離公式求出|QF₂|，則|PQ|+|PF₁|的最小值可求．

解答 解：如圖
由雙曲線$\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$，得a²=3，b²=1，
∴c²=a²+b²=4，則c=2，
則F₂（2，0），
∵$|P{F}_{1}|-|P{F}_{2}|=2\sqrt{3}$，∴$|P{F}_{1}|=2\sqrt{3}+|P{F}_{2}|$，
則|PQ|+|PF₁|=|PQ|+|PF₂|+$2\sqrt{3}$，
連接QF₂交雙曲線右支于P，
則此時|PQ|+|PF₂|最小等于|QF₂|，
∵Q的坐標(biāo)為（-2，3），F(xiàn)₂（2，0），
∴$|Q{F}_{2}|=\sqrt{（-2-2）^{2}+（3-0）^{2}}=5$，
∴|PQ|+|PF₁|的最小值為5+$2\sqrt{3}$．
故答案為：5+$2\sqrt{3}$．

點評 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，訓(xùn)練了雙曲線中最值問題的求法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．