Question

如圖，已知二次函數(shù)的圖像過點(diǎn)和，直線，直線（其中，為常數(shù)）；若直線與函數(shù)的圖像以及直線與函數(shù)以及的圖像所圍成的封閉圖形如陰影所示.

（1）求；

（2）求陰影面積關(guān)于的函數(shù)的解析式；

（3）若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖像過點(diǎn)和，法一：可以直接將點(diǎn)代入得到，進(jìn)而求解即可；法二：由二次函數(shù)的圖像過點(diǎn)，可設(shè)（兩根式），進(jìn)而再將代入可求出的值，最后寫出函數(shù)的解析式即可；（2）先求出直線與函數(shù)的圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)定積分的幾何意義即可求出；（3）先由條件判斷點(diǎn)不在曲線上，于是設(shè)出切點(diǎn)，進(jìn)而求出切線的斜率，一方面為，另一方面，于是得到等式即，根據(jù)題意，關(guān)于的方程要有三個(gè)不相等的實(shí)根，設(shè)，轉(zhuǎn)化為該函數(shù)的極大值大于零且極小值小于零，最后根據(jù)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解運(yùn)算即可求出的取值范圍.

(1)二次函數(shù)的圖像過點(diǎn)，則，又因?yàn)閳D像過點(diǎn)

∴ 3分

∴函數(shù)的解析式為 4分

(2)由得，

∴直線與的圖像的交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為， 6分

由定積分的幾何意義知：

8分

（3）∵曲線方程為，

∴點(diǎn)不在曲線上，設(shè)切點(diǎn)為，則，且

所以切線的斜率為，整理得 10分

∵過點(diǎn)可作曲線的三條切線，∴關(guān)于方程有三個(gè)實(shí)根

設(shè)，則，由得

∵當(dāng)時(shí)，在在上單調(diào)遞增

∵當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減

∴函數(shù)的極值點(diǎn)為 12分

∴關(guān)于當(dāng)成有三個(gè)實(shí)根的充要條件是

解得，故所求的實(shí)數(shù)的取值范圍是 14分.

考點(diǎn)：1.二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)；2.定積分的應(yīng)用；3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；4.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù).