Question

20．如圖，四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，CD=1，BC=4，AB=PA=PD=3，E為線段AB上一點，AE=$\frac{1}{2}$BE，F為PD的中點．
（1）證明：PE∥平面ACF；
（2）求三棱錐B-PCF的體積．

Answer 1

分析 （1）連接CE，DE，設DE∩AC=O，連接FO，由已知可得四邊形AECD為平行四邊形，又O是DE的中點，F為PD的中點，得OF∥PE，再由線面平行的判定得PE∥平面ACF；
（2）連接BD，取AD的中點G，連接PG，可證PG⊥平面ABCD，求解直角三角形可得PG，然后利用等積法求三棱錐B-PCF的體積．

解答 （1）證明：連接CE，DE，設DE∩AC=O，連接FO，
∵$AE=\frac{1}{2}BE$，AB=3，CD=1，AB∥CD，
∴AE∥CD，則四邊形AECD為平行四邊形，且O是DE的中點，
又∵F為PD的中點，∴OF∥PE，
∵OF?平面ACF，PE?平面ACF，∴PE∥平面ACF；

（2）解：連接BD，取AD的中點G，連接PG，
由PA=PD，得PG⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PG⊥平面ABCD，在Rt△CBE中，$CE=\sqrt{C{B}^{2}+E{B}^{2}}=2\sqrt{5}$，
在等腰△PAD中，$AD=2\sqrt{5}$，
∴$PG=\sqrt{P{A}^{2}-A{G}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}=2$．
∴${V}_{P-BCD}=\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•PG=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×4×2=\frac{4}{3}$，${V}_{F-BCD}=\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•\frac{1}{2}PG=\frac{2}{3}$，
則${V}_{B-PCF}={V}_{P-BCF}={V}_{P-BCD}-{V}_{F-BCD}=\frac{2}{3}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓練了等積法求多面體的體積，是中檔題．