Question

12．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知側(cè)棱與底面垂直，∠CAB=90°，且AC=1，AB=2，E為BB₁的中點(diǎn)，M為AC上的一點(diǎn)，$\overrightarrow{AM}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$．
（Ⅰ）證明：CB₁∥平面A₁EM；
（Ⅱ）若A₁A的長(zhǎng)度為$\sqrt{2}$，求三棱錐E-C₁A₁M的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AB₁，交A₁E于點(diǎn)N，連接MN，由E為BB₁的中點(diǎn)，且$\overrightarrow{AM}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$，得MN∥CB₁，再由線面平行的判定得CB₁∥平面A₁EM；
（Ⅱ）由題意可得${V}_{E-{C}_{1}{A}_{1}M}={V}_{B-{C}_{1}{A}_{1}M}$，結(jié)合棱錐體積公式求解．

解答 （Ⅰ）證明：如圖，
連接AB₁，交A₁E于點(diǎn)N，連接MN，
∵E為BB₁的中點(diǎn)，∴$AN=\frac{2}{3}A{B}_{1}$，
又$\overrightarrow{AM}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$，∴MN∥CB₁，
在△ACB₁中，∵M(jìn)N∥CB₁，MN?面A₁EM，CB₁?面A₁EM，
∴CB₁∥平面A₁EM；
（Ⅱ）解：由AA₁∥BB₁，得${V}_{E-{C}_{1}{A}_{1}M}={V}_{B-{C}_{1}{A}_{1}M}$，
由AA₁⊥面A₁B₁C₁，得AA₁⊥A₁B₁，
又C₁A₁⊥A₁B₁，AA₁∩C₁A₁=A₁，
∴A₁B₁⊥面AA₁C₁C，
∴${V}_{B-{C}_{1}{A}_{1}M}=\frac{1}{3}•{A}_{1}{B}_{1}•{S}_{△M{A}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}×2×\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．