Question

數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，對n∈N^*，點（n，a_n）橫在直線f（x）=-2x+k上，點（n，S_n）恒在拋物線g（x）=ax²+x上，其中k，a為常數(shù)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求直線f（x）與拋物線g（x）所圍成的封閉圖形的面積．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合,定積分

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）由題意得，a_n=k-2n，S_n=an²+n，由a₁=S₁，a_n=S_n-S_n-1即可求出a=-1，k=2；
（2）由于f（x）=2-2x，g（x）=x-x²，畫出直線和拋物線，求得交點A（1，0），B（2，-2），運用定積分求出曲線AB和直線x=2和x軸圍成的面積，再運用三角形ABC的面積減去它，即可得到所求面積．

解答： 解：（1）點（n，a_n）恒在直線f（x）=-2x+k上，則有a_n=k-2n，
點（n，S_n）恒在拋物線g（x）=ax²+x上，則有S_n=an²+n，
則a₁=S₁=k-2=a+1，a_n=S_n-S_n-1=an²+n-a（n-1）²-（n-1）
=2an+1-a，則有a=-1，k=2，
即有a_n=2-2n；
（2）由于a_n=2-2n，S_n=n-n²．
則f（x）=2-2x，g（x）=x-x²，
如圖畫出直線和拋物線，求得交點A（1，0），B（2，-2），
曲線AB和直線x=2和x軸圍成的面積為|

∫

2 1

（x-x²）dx|=|（

1

2

x²-

1

3

x³）|

2 1

|
=|（2-

8

3

）-（

1

2

-

1

3

）|=

5

6

，
三角形ABC的面積為

1

2

×2×1=1，
則直線f（x）與拋物線g（x）所圍成的封閉圖形的面積為1-

5

6

=

1

6

．

點評：本題考查數(shù)列的通項和求和，及其之間的關(guān)系，考查封閉圖形的面積求法，注意運用定積分的方法，考查運算能力，屬于中檔題．