Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=λ+1，a_n+1=

an+2+λan

1+λ

（λ≠-1），n∈N^*
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，當λ＞0且λ≠1時，比較S_n+

n

λ-1

與3a_n的大�。�

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和,數(shù)列與不等式的綜合

專題：綜合題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（Ⅰ）由a_n+1=

an+2+λan

1+λ

（λ≠-1），n∈N^*，變形構(gòu)造出a_n+2-a_n+1=λ（a_n+1-a_n），從而數(shù)列{a_n+1-a_n }是等比數(shù)列，通過數(shù)列{a_n+1-a_n }的通項公式，再利用累加法求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）利用分組求和法和公式法計算化簡S_n+

n

λ-1

，利用作差法比較與3a_n的大小．

解答： 解：（Ⅰ）由a_n+1=

an+2+λan

1+λ

（λ≠-1），n∈N^*，得a_n+2-a_n+1=λ（a_n+1-a_n），
所以數(shù)列{a_n+1-a_n }是等比數(shù)列，首項為a₂-a₁=λ，公比為λ，
由等比數(shù)列通項公式，可得a_n+1-a_n=λⁿ，
所以a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁，
=λ^n-1+λ^n-2+…+λ+1
=

1-λn

1-λ

（n≥2）
當n=1時也適合，
所以a_n=

1-λn

1-λ

．
（Ⅱ）S_n+

n

λ-1

-3a_n=

n

1-λ

-

1

1-λ

（λⁿ+λ^n-1+…+λ）+

n

λ-1

-3

1-λn

1-λ

=

(2λ-3)(1-λn)

(1-λ)2

①
當0＜λ＜1時，①＜0，S_n+

n

λ-1

＜3a_n
當1＜λ＜

3

2

時，①＞0，S_n+

n

λ-1

＞3a_n
當λ=

3

2

時，①=0，S_n+

n

λ-1

=3a_n
當λ＞

3

2

時，①＜0，S_n+

n

λ-1

＜3a_n．

點評：本題考查數(shù)列遞推公式即應(yīng)用，考查類加法，分組求和與公式法求和，分類討論思想，有一定的綜合性．