Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥平面ABC，AB=AC，D，E分別為BC，BB₁的中點，四邊形B₁BCC₁是正方形．
（1）求證：A₁B∥平面AC₁D；
（2）求證：CE⊥平面AC₁D．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）設A₁C∩AC₁=0，根據(jù)O、D 分別為CA₁、CB的中點，可得OD∥A₁B．再利用直線和平面平行的判定定理證得A₁B∥平面AC₁D．
（2）由題意可得三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，利用平面和平面垂直的性質可得AD⊥平面BCC₁B₁，可得AD⊥CE．再根據(jù)B₁BCC₁是正方形，D、E 分別為BC、BB₁的中點，證得C₁D⊥CE．從而利用直線和平面垂直的判定定理證得CE⊥平面AC₁D．

解答： （1）證明：設A₁C∩AC₁=0，則由三棱柱的性質可得O、D 分別為CA₁、CB的中點，∴OD∥A₁B．
∵A₁B?平面AC₁D，OD?平面AC₁D，∴A₁B∥平面AC₁D．
（2）證明：由BB₁⊥平面ABC，可得三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，∵AB=AC，∴AD⊥BC．
由平面ABC⊥平面BCC₁B₁，AD?平面BCC₁B₁，平面ABC∩平面BCC₁B₁=BC，可得AD⊥平面BCC₁B₁．
又CE?平面BCC₁B₁，故有AD⊥CE．
∵B₁BCC₁是正方形，D、E 分別為BC、BB₁的中點，故有C₁D⊥CE．
這樣，CE垂直于平面AC₁D內的兩條相交直線AD、C₁E，∴CE⊥平面AC₁D．

點評：本題主要考查直線和平面平行的判定定理、直線和平面垂直的判定定理的應用，平面和平面垂直的性質，屬于基礎題．