Question

已知函數(shù)，數(shù)列{a_n}滿足a₁=a（a≠-2，a∈R），．
（Ⅰ）若數(shù)列{a_n}是常數(shù)列，求a的值；
（Ⅱ）當a₁=時，記，證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求出{b_n}的通項公式．

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意得，a_n+1=，
∵a₁=a（a≠-2，a∈R），數(shù)列{a_n}是常數(shù)列，
∴a_n+1=a_n=a，
∴=a，
∴a=1或a=0（舍），
∴a=1；
（Ⅱ）證明∵a_n+1=，
∴==+，
∴-1=（-1），又b_n=-1（n∈N^*），
∴b_n+1=b_n，
∴=，又a₁=，b₁=-1=，
∴數(shù)列{b_n}是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
∴b_n=•=．
分析：（Ⅰ）若數(shù)列{a_n}是常數(shù)列，則a₂=a₁=a，即可求得a的值；
（Ⅱ）當a₁=時，可求得=，利用等比數(shù)列的概念可證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，從而可求得{b_n}的通項公式．
點評：本題考查等比關(guān)系的確定，考查等比數(shù)列的通項公式，證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列是難點所在，考查轉(zhuǎn)化與運算能力，屬于中檔題．