Question

8．若函數(shù)y=f（x）滿足以下條件：①對(duì)于任意的x∈R，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）•f（y）；②x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）∈（1，+∞）．
（1）求f（0）的值；
（3）求證：f（x-y）=$\frac{f（x）}{f（y）}$（f（y）≠0）；
（3）判斷f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）由題意可得f（x）•f（0）=f（x），解之即可求得f（0）；
（2）利用f（x）=f[x-y+y]=f（x-y）f（y），即可證明結(jié)論；
（3）設(shè)x₁，x₂∈R且x₁＞x₂，利用定義法作差，整理后即可證得差的符號(hào)，進(jìn)而由定義得出函數(shù)的單調(diào)性．

解答 （1）解：由題意可得f（x）•f（0）=f（x）
∴f（0）=1；
（2）證明：f（x）=f[x-y+y]=f（x-y）f（y），
∵f（y）≠0，
∴f（x-y）=$\frac{f（x）}{f（y）}$；
（3）設(shè)x₁，x₂∈R且x₁＞x₂，則f（x₁）-f（x₂）=f[（x₁-x₂）+x₂]-f（x₂）=f（x₂）[f（x₁-x₂）-1]
∵x₁-x₂＞0
∴f（x₁-x₂）＞1
∴f（x₁-x₂）-1＞0
對(duì)于任意x∈R，f（x）=f（$\frac{x}{2}$+$\frac{x}{2}$）=[f（$\frac{x}{2}$）]²≥0，
∵f（$\frac{x}{2}$）≠0，∴f（x）＞0
∴f（x₂）＞0
∴f（x₂）f[（x₁-x₂）-1]＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）故f（x）在R上是增函數(shù)

點(diǎn)評(píng) 本題考點(diǎn)是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查靈活賦值求值的能力以及靈活變形證明函數(shù)單調(diào)性的能力．