Question

13．已知以坐標(biāo)軸為對稱軸且離心率等于2的雙曲線的一個焦點與拋物線x=$\frac{1}{8}$y²的焦點重合，則該雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{1}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線的方程算出其焦點為（2，0），從而得出雙曲線的右焦點為F（2，0）．再設(shè)出雙曲線的方程，利用離心率的公式和a、b、c的平方關(guān)系建立方程組，解出a、b的值即可得到該雙曲線的方程．

解答 解：∵拋物線方程為y²=8x，∴2p=8，得拋物線的焦點為（2，0）．
∵雙曲線的一個焦點與拋物y²=8x的焦點重合，
∴雙曲線的右焦點為F（2，0）
設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0），可得a²+b²=4…①
∵雙曲線的離心率為2，∴$\frac{c}{a}=2$，即$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}=4$…②
由①②聯(lián)解，得a²=1，b²=3，所以該雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{1}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{1}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

點評 本題給出拋物線的焦點為雙曲線右焦點，求雙曲線的方程．著重考查了拋物線、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．