Question

（本小題滿分14分）

   已知橢圓C₁： (a>b>0)的離心率為，直線：＋2＝0與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓C₁的短半軸長為半徑的圓相切。

  （1）求橢圓C₁的方程；

  （2)設(shè)橢圓C₁的左焦點(diǎn)為F ₁，右焦點(diǎn)F₂,直線過點(diǎn)F₁且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直直線于點(diǎn)P，線段PF₂的垂直平分線交于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的軌跡C₂的方程；

  （3）若A(x₁，2)、B(x₂ ，Y₂)、C(x₀，y₀)是C₂上不同的點(diǎn)，且AB⊥ BC，求Y_o的取值范圍。

Answer 1

解：（1）所以，，所以，2a²＝3b²，．．．．．．．2分，

直線l：x一y＋2＝0與圓直線l：x一y＋2＝0與x²＋y²＝b²相切，

所以，＝b，所以，b＝，b²＝2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分，

a²＝2，所以，橢圓C₁的方程是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分，

（2）因?yàn)椋麺P｜＝｜MF₂｜，

所以，動點(diǎn)M到定直線：x＝－1的距離等于它到定點(diǎn)F₂（1,0）的距離

所以，動點(diǎn)M的軌跡是以為準(zhǔn)線，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的拋物線，

＝1，所以點(diǎn)M的軌跡C₂的方程為y²＝4x．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分。

（3）由（1）知A（1,2），

又AB⊥ BC，所以，＝0，

整理，得：y₂²＋（y₀＋2）y₂＋16＋2y₀＝0，．．．．．．．．．．．．．12分

此方程有解，

所以∆＝（y₀＋2）²－4（16＋2y₀）≥0，解得：y₀≤－6或y₀≥10，

當(dāng)y₀＝－6時，B（4,2），C（9，－6），故符合條件，

當(dāng)y₀＝10時，B（9,－6），C（25，10），故符合條件，

所以，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y₀的取值范圍是（－，－6）∪［10，＋）．．．．．．．．．．．．．14分。