Question

6．求與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1有相同的焦點，且過點M（2，1）的橢圓的方程．

Answer 1

分析 求出雙曲線的焦點即為橢圓的焦點，設(shè)出橢圓方程，代入點M的坐標，得到方程及a，b，c的關(guān)系，解方程，即可得答案．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的焦點為：（-$\sqrt{6}$，0），（$\sqrt{6}$，0），
則橢圓的焦點為：（-$\sqrt{6}$，0），（$\sqrt{6}$，0），且c=$\sqrt{6}$，
設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
則$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-^{2}=6}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，
解得：a²=8，b²=2．
則所求橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．

點評 本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì)，考查解方程的運算能力，屬于基礎(chǔ)題．