Question

20．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sin（$\frac{ω}{2}$x+φ），1），$\overrightarrow$=（1，cos（$\frac{ω}{2}$x+φ））（ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{4}$），記函數(shù)f（x）=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）．若函數(shù)y=f（x）的周期為4，且經(jīng)過點M（1，$\frac{1}{2}$）．
（1）求ω的值；
（2）當-1≤x≤1時，求函數(shù)f（x）的最值．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)量積的坐標運算化簡得到函數(shù)解析式，結(jié)合周期公式求得ω的值；
（2）由（1）及函數(shù)圖象經(jīng)過點M（1，$\frac{1}{2}$）求得函數(shù)具體解析式，在由x的范圍求得相位的范圍，則函數(shù)f（x）的最值可求．

解答 解：（1）f（x）=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=${\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow}^{2}$=$si{n}^{2}（\frac{ω}{2}x+φ）-co{s}^{2}（\frac{ω}{2}x+φ）$=-cos（ωx+2φ）．
由題意得：周期$T=\frac{2π}{ω}=4$，故$ω=\frac{π}{2}$；
（2）∵圖象過點M（1，$\frac{1}{2}$），
∴-cos（$\frac{π}{2}+$2φ）=$\frac{1}{2}$，
即sin2φ=$\frac{1}{2}$，而0＜φ＜$\frac{π}{4}$，故2φ=$\frac{π}{6}$，則f（x）=-cos（$\frac{π}{2}x+\frac{π}{6}$）．
當-1≤x≤1時，$-\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}x+\frac{π}{6}≤\frac{2π}{3}$，
∴$-\frac{1}{2}≤cos（\frac{π}{2}x+\frac{π}{6}）≤1$．
∴當x=-$\frac{1}{3}$時，f（x）_min=-1，當x=1時，$f（x）_{max}=\frac{1}{2}$．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中檔題．