Question

1．函數(shù)$f（x）=\frac{bx+c}{{a{x^2}+1}}（a，b，c∈R）$是奇函數(shù)，且f（-2）≤f（x）≤f（2），則a=$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由f（0）=0可求c，根據(jù)f（-2）≤f（x）≤f（2），利用基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵函數(shù)$f（x）=\frac{bx+c}{{a{x^2}+1}}（a，b，c∈R）$是奇函數(shù)且定義域內(nèi)有0
∴f（0）=0
解得c=0，故f（x）=$\frac{bx}{a{x}^{2}+1}$．
x＞0，a＞0，f（x）=$\frac{bx}{a{x}^{2}+1}$=$\frac{ax+\frac{1}{x}}$≤$\frac{2\sqrt{a}}$（ax=$\frac{1}{x}$時(shí)取等號(hào)）
∵f（-2）≤f（x）≤f（2），∴2a=$\frac{1}{a}$，∴a=$\frac{1}{4}$．
故答案為$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了奇函數(shù)性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．