Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-bx+1，
（Ⅰ）是否存在實數(shù)a，b使f（x）＞0的解集是（3，4），若存在，求實數(shù)a，b的值，若不存在請說明理由．
（Ⅱ）若a＜0，b=a-2，且不等式f（x）≠0在（-2，-1）上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由已知中f（x）＞0的解集是（3，4），我們易根據(jù)不等式、函數(shù)、方程之間的辯證關(guān)系，得到方程ax²-bx+1=0的兩根為3，4，進而根據(jù)韋達定理求出滿足條件的求出滿足實數(shù)a，b的值，再結(jié)合一元二次不等式解集與系數(shù)的關(guān)系，得到結(jié)論．
（II）根據(jù)a＜0，b=a-2，我們易判斷出函數(shù)f（x）圖象的形狀及在區(qū)間（-2，-1）上的單調(diào)性，進而根據(jù)函數(shù)恒成立問題，構(gòu)造關(guān)于a的不等式組，解不等式組，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）不等式ax²-bx+1＞0的解集是（3，4）
故方程ax²-bx+1=0的兩根為3，4，
則是3+4=

b

a

，3×4=

1

a

∴a=

1

12

，b=

7

12

而當a=

1

12

時，a＞0，
不等式ax²-bx+1＞0的解集是（-∞，3）∪（4，+∞）滿足要求
故不存在實數(shù)a，b使f（x）＞0的解集是（3，4）．
（II）∵a＜0，b=a-2，
∴f（x）=ax²-（a-2）x+1，
又∵不等式f（x）≠0在（-2，-1）上恒成立，
又∵函數(shù)f（x）=ax²-（a-2）x+1是開口方向朝下，以x=

a-2

2a

＞

1

2

為對稱軸的拋物線
∴函數(shù)f（x）在（-2，-1）上單調(diào)遞增
∴f（-2）≥0或f（-1）≤0
解得a＜0，所以a∈（-∞，0）（15分）

點評：本題考查的知識點是一元二次不等式與一元二次方程，二次函數(shù)的性質(zhì)，其中熟練掌握二次函數(shù)，一元二次不等式與一元二次方程，之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．