Question

等差數(shù)列{a_n}的前n項和是S_n，滿足條件a₆是a₂，S₄的等差中項，且數(shù)列首項為1．
（1）求等差數(shù)列{a_n}的公差d；
（2）設b_n=

1

S   n

，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，是否存在實數(shù)λ，使得T_n＜λa_n+1對一切n∈N^*都成立？若存在，求出λ的取值范圍，若不存在說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,等差數(shù)列的前n項和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列{a_n}滿足條件a₆是a₂，S₄的等差中項，且數(shù)列首項為1，建立方程，即可求等差數(shù)列{a_n}的公差d；
（2）求出數(shù)列{b_n}的通項，利用T_n＜λa_n+1對一切n∈N^*都成立，即可求出λ的取值范圍．

解答： 解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}滿足條件a₆是a₂，S₄的等差中項，且數(shù)列首項為1，
∴2（1+5d）=1+d+4+6d，
∴d=1；
（2）S_n=n+

n(n-1)

2

=

n(n+1)

2

，
∴b_n=

1

S   n

=2（

1

n

-

1

n+1)

），
∴T_n=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…

1

n

-

1

n+1)

）=2（1-

1

n+1)

）=

2n

n+1

，
∵T_n＜λa_n+1對一切n∈N^*都成立，
∴

2n

n+1

＜λ•n對一切n∈N^*都成立，
∴λ＞

2

n+1

，
∴λ＞1．

點評：本題考查等差數(shù)列的通項與性質，考查數(shù)列的求和，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．