Question

6．已知中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上的橢圓M的離心率為$\frac{1}{2}$，橢圓上異于長軸頂點的任意點A與左右兩焦點F₁，F(xiàn)₂構(gòu)成的三角形中面積的最大值為$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若A與C是橢圓M上關(guān)于x軸對稱的兩點，連接CF₂與橢圓的另一交點為B，求證：直線AB與x軸交于定點P，并求$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{{F_2}C}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用橢圓的離心率，三角形的面積，橢圓幾何量的關(guān)系，求出a，b，c得到橢圓的方程．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₁，-y₁），推出AB：y=kx+m．代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$利用韋達(dá)定理，以及B，C，F(xiàn)₂共線，得到${k_{B{F_2}}}={k_{C{F_2}}}$，推出m=-4k．說明AB與x軸交于定點P（4，0），然后求解$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{{F_2}C}$的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題意知$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}（2c）b=\sqrt{3}$，a²=c²+c²，解得c=1，a=2，$b=\sqrt{3}$．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（4分）
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₁，-y₁），AB：y=kx+m．將y=kx+m，代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0．
則${x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{4{k^2}+3}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-12}}{{4{k^2}+3}}$．
因為B，C，F(xiàn)₂共線，所以${k_{B{F_2}}}={k_{C{F_2}}}$，即$\frac{{-（k{x_1}+m）}}{{{x_1}-1}}=\frac{{k{x_2}+m}}{{{x_2}-1}}$．
整理得2kx₁x₂+（m-k）（x₁+x₂）-2m=0，
所以$2k\frac{{4{m^2}-12}}{{4{k^2}+3}}-（m-k）\frac{8km}{{4{k^2}+3}}-2m=0$，m=-4k．AB：y=k（x-4），與x軸交于定點P（4，0）．…（12分）
因為${y_1}^2=3-\frac{3}{4}{x_1}^2$，
所以$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{{F_2}C}=（{{x_1}-4，{y_1}}）•（{{x_1}-1，-{y_1}}）=x_1^2-5{x_1}+4-y_1^2$=$\frac{7}{4}x_1^2-5{x_1}+1=\frac{7}{4}{（{{x_1}-\frac{10}{7}}）^2}-\frac{18}{7}$．
因為-2＜x₁＜2，所以$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{{F_2}C}$的取值范圍是$[-\frac{18}{7}，18）$．…（12分）

點評 本題考查橢圓的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查向量在解析幾何中的應(yīng)用，難度比較大．