【題目】已知函數(shù)有極值，且導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)是的零點(diǎn).

（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；

（2）證明：.

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)解析式先求得導(dǎo)函數(shù)，由極值點(diǎn)存在條件可知，可得；再求得導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)，即可由導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)是的零點(diǎn)代入求得等量關(guān)系，結(jié)合不等式求得定義域.

（2）利用分析法分析可知，若證明，只需證明，利用換元法轉(zhuǎn)化并求得導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性和最值證明不等式成立即可.

（1）函數(shù),

則，

因?yàn)橛袠O值點(diǎn)，所以，

化簡可得，

導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)是的零點(diǎn).

而導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)為二次函數(shù)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以是的零點(diǎn).

即，

代入可得，化簡可知，

又，即，解得，

，

（2）證明:要證，，

只要證，

只要證，

只要證，

設(shè)，，則，

所以，，

，

，

原式得證.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】自湖北爆發(fā)新型冠狀病毒肺炎疫情以來，湖北某市醫(yī)護(hù)人員和醫(yī)療、生活物資嚴(yán)重匱乏，全國各地紛紛馳援．某運(yùn)輸隊(duì)接到從武漢送往該市物資的任務(wù)，該運(yùn)輸隊(duì)有8輛載重為6t的A型卡車，6輛載重為10t的B型卡車，10名駕駛員，要求此運(yùn)輸隊(duì)每天至少運(yùn)送240t物資．已知每輛卡車每天往返的次數(shù)為A型卡車5次，B型卡車4次，每輛卡車每天往返的成本A型卡車1200元，B型卡車1800元，則每天派出運(yùn)輸隊(duì)所花的成本最低為_____．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：（）的離心率為，點(diǎn)在橢圓C上，直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B.

（1）求橢圓C的方程；

（2）直線，分別交y軸于M，N兩點(diǎn)，問：x軸上是否存在點(diǎn)Q，使得？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；

（2）設(shè)函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.（其中，為自然對數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線：（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線：.

（1）寫出曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若曲線上有一動點(diǎn)，曲線上有一動點(diǎn)，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】檢驗(yàn)中心為篩查某種疾病，需要檢驗(yàn)血液是否為陽性，對份血液樣本，有以下兩種檢驗(yàn)方式：①逐份檢驗(yàn)，需要檢驗(yàn)次；②混合檢驗(yàn)，即將其中（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這份的血液全為陰性，因而這份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了，如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了明確這份血液究竟哪幾份為陽性，再對這份再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為次.假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為.

（1）假設(shè)有5份血液樣本，其中只有2份樣本為陽性，若采用逐份檢驗(yàn)方式，求恰好經(jīng)過2次檢驗(yàn)就能把陽性樣本全部檢驗(yàn)出來的概率；

（2）現(xiàn)取其中（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為，采用混合檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為點(diǎn).當(dāng)時(shí)，根據(jù)和的期望值大小，討論當(dāng)取何值時(shí)，采用逐份檢驗(yàn)方式好？

（參考數(shù)據(jù)：，，，，，.）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（），是的導(dǎo)數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，令，為的導(dǎo)數(shù).證明：在區(qū)間存在唯一的極小值點(diǎn)；

（2）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）判斷函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由；

（3）設(shè)是的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率，橢圓C的上、下頂點(diǎn)分別為A1，A2，左、右頂點(diǎn)分別為B1，B2，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F2.原點(diǎn)到直線A2B2的距離為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）P是橢圓上異于A1，A2的任一點(diǎn)，直線PA1，PA2，分別交x軸于點(diǎn)N，M，若直線OT與以MN為直徑的圓G相切，切點(diǎn)為T.證明：線段OT的長為定值，并求出該定值.

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