Question

2．已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，且PA⊥平面ABCD，M為四邊形ABCD所在平面內(nèi)一點(diǎn)，E為PC的中點(diǎn)，PB=2，則（1）PC⊥BD；（2）直線BE∥平面PAD；（3）點(diǎn)M到直線PA與BC的距離相等，則點(diǎn)M的軌跡方程為拋物線；（4）V_P-ABCD的最大值為$\frac{16\sqrt{3}}{27}$，以上結(jié)論正確的是（1）（3）（4）．

Answer 1

分析 （1）利用線面垂直，可得結(jié)論；（2）利用線面平行可得結(jié)論；
（3）利用拋物線的定義，可得結(jié)論；
（4）利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)，即可求解．

解答 解：（1）∵四棱錐P-ABCD的底面為菱形，∴AC⊥BD，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，
∵PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC，∴PC⊥BD，正確；
（2）由于AB=CD，E為PC的中點(diǎn)，∴直線BE∥平面PAD，不成立，不正確；
（3）點(diǎn)M到直線PA與BC的距離相等，則點(diǎn)M到A的距離與BC的距離相等，∴點(diǎn)M的軌跡方程為拋物線，正確；
（4）當(dāng)?shù)酌鏋檎�方形，設(shè)PA=a，AB=b，則a²+b²=4，
V_P-ABCD=$\frac{1}{3}$a²b=$\frac{1}{3}$（4-b²）b，∴V′=$\frac{1}{3}$（4-3b²）=0，∴b=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$，V的最大值為$\frac{1}{3}$×$\frac{8}{3}$×$\frac{2}{3}\sqrt{3}$=$\frac{16\sqrt{3}}{27}$，正確．
故答案為：（1）（3）（4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷，考查線面垂直、平行，考查拋物線的定義，考查體積的計(jì)算，知識(shí)綜合性強(qiáng)．