Question

5．如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD=1，點E，F(xiàn)分別是棱PB，AD的中點．
（Ⅰ）求證：EF⊥平面PBC；
（Ⅱ）求多面體PDFEC的體積．

Answer 1

分析 （1）取PC中點M，連接EM，DM，則四邊形EMDF是平行四邊形，可得EF∥DM，由PD=CD可得DM⊥PC，從而推出EF⊥PC，連接BF，可通過計算證明PF=BF，由于E為PB中點，從而
EF⊥PB，推出EF⊥平面PBC；
（2）將多面體分解成棱錐F-PCD和棱錐F-PCE，它們的高分別是DF，EF，底面分別是Rt△PCD和△PCE，其中△PCE的面積是Rt△PBC的一半，帶入體積公式計算．

解答 解：（1）取PC中點M，連接EM，DM，連接BF，
在Rt△PDF中，DF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$，∴PF=$\sqrt{P{D}^{2}+D{F}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
在Rt△ABF中，BF=$\sqrt{A{F}^{2}+A{B}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴PF=BF，∵E是PB中點，∴EF⊥PB，
∵PD=CD，M是PC中點，∴DM⊥PC，
∵EM是△PBC的中位線，∴EM∥BC，EM=$\frac{1}{2}$BC，
∵DF∥BC，DF=$\frac{1}{2}$BC，
∴EM∥DF，EM=DF，
∴四邊形EMDF是平行四邊形，∴EF∥DM，∵EF⊥PB，∴EF⊥PC．
∵PB?平面PBC，PC?平面PBC，PB∩PC=P，
∴EF⊥平面PBC．
（2）∵PD⊥平面ABCD，DF?平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PD⊥DF，PD⊥CD，PC=$\sqrt{P{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$，∵DF⊥CD，
∴DF⊥平面PCD，又∵BC∥DF，∴BC⊥平面PCD，∴BC⊥PC，
∴V_棱錐F-PCD=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$•PD•CD•DF=$\frac{1}{12}$．
∵E是PB的中點，∴S_△PEC=$\frac{1}{2}$S_△PBC=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$•PC•BC=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
連接BD，則BD=$\sqrt{2}$，∴PB=$\sqrt{P{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵PF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，PE=$\frac{1}{2}$PB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴EF=$\sqrt{P{F}^{2}-P{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴V_棱錐F-PCE=$\frac{1}{3}$S_△PCE•EF=$\frac{1}{12}$．
∴多面體PDFEC的體積=V_棱錐F-PCD+V_棱錐F-PCE=$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{12}$=$\frac{1}{6}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定和空間幾何體的體積，將所求多面體分解成規(guī)則結(jié)合體是解題關(guān)鍵，計算較多．