Question

14．表面積為60π的球面上有四點S，A，B，C，且△ABC是等邊三角形，球心O到平面ABC的距離為2，若平面SAB⊥平面ABC，則棱錐S-ABC體積的最大值為$\frac{121\sqrt{3}}{8}$．

Answer 1

分析 如圖，由求得表面積可得球半徑OB=$\sqrt{15}$，OD=2可得BD=$\sqrt{11}$，由△ABC是等邊三角形可推出AB=$\sqrt{33}$，即△ABC面積為定值，故S在AB的中垂線上且位于平面ABC上方時，棱錐S-ABC體積的最大，過O作平面SAB的垂線段，垂足為H，則HE=OD=2，OH=DE=$\frac{\sqrt{11}}{2}$，SO=$\sqrt{15}$，可求得SH=$\frac{7}{2}$，即棱錐的高最大值為SE=$\frac{11}{2}$．從而可求得棱錐的最大值．

解答 解：過O作平面ABC的垂線段OD，垂足為D，過D作DE⊥AB，垂足為E，連接BD，則OD⊥BD，OD⊥DE，
∵4πOB²=60π，∴OB=$\sqrt{15}$，
又∵OD=2，∴BD=$\sqrt{O{B}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{11}$，
∵△ABC是等邊三角形，∴D是△ABC的中心，
∴DE=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{\sqrt{11}}{2}$，∴AB=2BE=2$\sqrt{B{D}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{33}$．
∴S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AB²=$\frac{33\sqrt{3}}{4}$，
由球的對稱性可知當(dāng)S在AB的中垂線上時，S到平面ABC的距離最大，
過O作平面SAB的垂線段SH，垂足為H，
∵平面SAB⊥平面ABC，DE⊥AB，平面SAB∩平面ABC=AB，DE?平面ABC，
∴DE⊥平面SAB，∵SE?平面SAB，∴DE⊥SE，
∴四邊形ODEH是矩形，∴OH=DE=$\frac{\sqrt{11}}{2}$，HE=OD=2，
∵OS=OB=$\sqrt{15}$，∴SH=$\sqrt{O{S}^{2}-O{H}^{2}}$=$\frac{7}{2}$，∴SE=SH+HE=$\frac{11}{2}$．
∴V=$\frac{1}{3}$•S_△ABC•SE=$\frac{1}{3}$•$\frac{33\sqrt{3}}{4}$•$\frac{11}{2}$=$\frac{121\sqrt{3}}{8}$．
故答案為$\frac{121\sqrt{3}}{8}$．

點評 本題考察了圓內(nèi)接幾何體的體積，尋找圖中的數(shù)量關(guān)系是本題的難點．