Question

7．已知函數(shù)f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1（k∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若f（x）≤0對(duì)定義域所有x恒成立，求k的取值范圍；
（3）n≥2，n∈N時(shí)證明 ln2+ln3+…lnn≤$\frac{n（n-1）}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由已知得x＞1，求出f′（x），由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)k≤0時(shí)，f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1≤0不可能恒成立；當(dāng)k＞0，f（x）_max=f（$\frac{1}{k}$+1）=-lnk，由此能確定實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）根據(jù)ln（x-1）≤x-2，令x-1=n，得lnn≤n-1對(duì)n≥2，n∈N成立，取值相加即可．

解答 解：（1）解：∵f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1，
∴x＞1，f′（x）=$\frac{1}{x-1}$-k=$\frac{k+1-kx}{x-1}$，
當(dāng)k≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）遞增，
函數(shù)無(wú)極值；
當(dāng)k＞0時(shí)，f（x）在（1，$\frac{1}{k}$+1）遞增，（$\frac{1}{k}$+1，+∞）遞減，
∴f（x）_極大值=f（1+$\frac{1}{k}$）=-lnk；
（2）解：當(dāng)k≤0時(shí)，∵-k（x-1）+1＞0，（x＞1），
∴f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1≤0不可能恒成立，
當(dāng)k＞0，由（1）可知f（x）_max=f（$\frac{1}{k}$+1）=ln$\frac{1}{k}$-1+1=-lnk，
由-lnk≤0，得k≥1，
∴f（x）≤0恒成立時(shí)，k≥1；
（3）由（2）得：k=1時(shí)，f（x）≤0成立，∴l(xiāng)n（x-1）≤x-2，
令x-1=n，得lnn≤n-1對(duì)n≥2，n∈N成立，
∴l(xiāng)n2+ln3+…+lnn≤1+2+…+）n-1）=$\frac{（n-1）（1+n-1）}{2}$=$\frac{n（n-1）}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查不等式的證明，是一道中檔題．