Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}sinxcosx-{cos^2}x+\frac{1}{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）在$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上的最值；
（2）在△ABC中，c=$\sqrt{7}$，f（C）=1，若向量$\overrightarrow m=（1，sinA），\overrightarrow n=（3，sinB）$共線，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，在$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上時(shí)，求出f（x）內(nèi)層函數(shù)的范圍，求解其最值．
（2）求出C角的大小，利用向量共線，求出A，B的關(guān)系，利用三角形內(nèi)角和定理和正余弦定理即可求解．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}sinxcosx-{cos^2}x+\frac{1}{2}$．
化簡(jiǎn)得：f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$cos2x）+$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x
=sin（2x-$\frac{π}{6}$） 
（1）∵$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$，
∴$2x-\frac{π}{6}∈[{\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}}]$．
當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為：1；
當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為：$\frac{1}{2}$；
∴函數(shù)f（x）在$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上的最值分別為：f（x）_max=1，$f（x）_{min'}=\frac{1}{2}$．
（2）由題意：c=$\sqrt{7}$，f（C）=1，
則有：f（C）=sin（2C-$\frac{π}{6}$）=1
解得：C=$\frac{π}{3}$
又∵向量$\overrightarrow m=（1，sinA），\overrightarrow n=（3，sinB）$共線，
則有：sinA•sinB=3
由正弦定理，可得ab=3，b=$\frac{3}{a}$
由余弦定理：$cosC=\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$
⇒$cos\frac{π}{3}=\frac{{a}^{2}+\frac{9}{{a}^{2}}-7}{6}$
解得：a=1，
∵ab=3，
∴b=3
故a，b的值分別為1，3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的化解能力和性質(zhì)的運(yùn)用，同時(shí)考查了正余弦定理的運(yùn)用能力．屬于中檔題．