Question

13．在△ABC中，AB=4，AC=4$\sqrt{2}$，∠BAC=45°，以AC的中線BD為折痕，將△ABD沿BD折起，如圖所示，構(gòu)成二面角A′-BD-C，在面BCD內(nèi)作CE⊥CD，且$CE=\sqrt{2}$．  
 （Ⅰ）求證：CE∥平面A'BD；
（Ⅱ）如果二面角A′-BD-C的大小為90°，求二面角B-A′C-E的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出BD⊥AC，BD⊥CD，從而CE∥BD，由此能證明CE∥平面ABD．
（Ⅱ）推導(dǎo)出A'D⊥面BDC，A'D⊥CE，CE⊥A'C，設(shè)A'E中點為G，則FG∥CE，由CE⊥A'C，得FG⊥A'C，∠BFG為二面角B-A'C-E的平面角，由此能求出二面角B-A'C-E的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）由$AB=4，AC=4\sqrt{2}，∠BAC={45°}$，得BC=4，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∵D為AC的中點，∴BD⊥AC，
以AC的中線BD為折痕翻折后仍有BD⊥CD
∵CE⊥CD，∴CE∥BD，（3分）
又CE?平面ABD，BD?平面ABD，
∴CE∥平面ABD． （2分）
解：（Ⅱ）∵二面角A'-BD-C的大小為90°，∴面A'BD⊥面BDC，
又面A'BD∩面BDC=BD，A'D⊥BD，∴A'D⊥面BDC，（2分）
∴A'D⊥CE，又CE⊥CD，A'D∩CD=D，
∴CE⊥面A'CD，∴CE⊥A'C．（2分）
由題意$A'D=DC=2\sqrt{2}$，∴Rt△A'DC中，A'C=4．
設(shè)BC中點為F，∵A'B=BC=4，∴BF⊥A'C，且$BF=2\sqrt{3}$，
設(shè)A'E中點為G，則FG∥CE，由CE⊥A'C，得FG⊥A'C，
∴∠BFG為二面角B-A'C-E的平面角，（3分）
連結(jié)BG，在△BCE中，
∵$BC=4，CE=\sqrt{2}，∠BCE={135°}$，∴$BE=\sqrt{26}$．
在Rt△DCE中$DE=\sqrt{{{（2\sqrt{2}）}^2}+{{（\sqrt{2}）}^2}}=\sqrt{10}$，
∴在Rt△A'DE中，$A'E=\sqrt{{{（2\sqrt{2}）}^2}+{{（\sqrt{10}）}^2}}=3\sqrt{2}$．
在△A'BE中，$B{G^2}=\frac{1}{2}A'{B^2}+\frac{1}{2}B{E^2}-\frac{1}{4}A'{E^2}=\frac{33}{2}$，
∴在△BFG中，$cos∠BFG=\frac{{12+\frac{1}{2}-\frac{33}{2}}}{{2•2\sqrt{3}•\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}=-\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
∴二面角B-A'C-E的余弦值為$-\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．（3分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．