Question

已知函數(shù)f（x）=x3+x2+ax+b,g（x）=x3+x2+ 1nx+b，（a，b為常數(shù)）．

（1）若g（x）在x=l處的切線方程為y=kx－5（k為常數(shù)），求b的值；

（2）設(shè)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f’（x），若存在唯一的實(shí)數(shù)x0，使得f（x0）=x0與f′（x0）=0同時(shí)成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；

（3）令F（x）=f（x）－g（x），若函數(shù)F（x）存在極值，且所有極值之和大于5+1n2，求a的取值范圍．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，先求 ,利用,然后將代入，求出`,此點(diǎn)也在函數(shù)f(x)上，代入，即可求出;

（2）根據(jù),消去,得到關(guān)于的三次方程，，此方程有唯一解，令，求出,利用導(dǎo)數(shù)求出極值點(diǎn)，以及兩側(cè)的單調(diào)性，從而分析圖像，得到的取值范圍；

（3），因?yàn)榇嬖跇O值，所以在上有根即方程在上有根．得到根與系數(shù)的關(guān)系，代入極值,得到的取值范圍.

試題解析：（1）∵ 所以直線的，當(dāng)時(shí)，，將（1，6）代入，得． 4分

（2） ，由題意知消去，

得有唯一解．

令，則， 6分

所以在區(qū)間上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，

又，故實(shí)數(shù)的取值范圍是． 9分

（3）

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719135215512637/SYS201411171914030462503092_DA/SYS201411171914030462503092_DA.037.png">存在極值，所以在上有根即方程在上有根． 10分

記方程的兩根為由韋達(dá)定理，所以方程的根必為兩不等正根． 12分

所以滿足方程判別式大于零

故所求取值范圍為 14分

考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值，單調(diào)性；3.導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的綜合問題.