Question

（本題滿分16分）已知半徑為5的圓的圓心在軸上，圓心的橫坐標(biāo)是整數(shù)，且與直線 相切．

（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線與圓相交于兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)，使得弦的垂直平分線過點(diǎn).

Answer 1

【解析】

試題分析：（1）設(shè)圓心為由圓與直線 相切，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求出；（2）由圓與直線相交，則圓心與直線的距離小于半徑；（3）若存在，設(shè)的方程為，即，又因?yàn)橄?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031406073994888631/SYS201503140607489023209655_DA/SYS201503140607489023209655_DA.009.png">的垂直平分線必過圓心，把圓心坐標(biāo)代入直線方程求出實(shí)數(shù)，檢驗(yàn)此時(shí)直線與圓相交于兩點(diǎn).

試題解析：（1）設(shè)圓心為

由于圓與直線相切，且半徑為5，

所以

即，

解得

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015031406073994888631/SYS201503140607489023209655_DA/SYS201503140607489023209655_DA.016.png">為整數(shù)，故，

故所求的圓的方程是 （5分）

（2） 此時(shí)，圓心與該直線的距離

即： （10分）

（2）設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)存在，

，則直線的斜率為，的方程為，即．

由于垂直平分弦，故圓心必在上．

所以解得．

經(jīng)檢驗(yàn)，直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)， （14分）

故存在實(shí)數(shù)，使得過點(diǎn)的直線垂直平分弦 （16分）

考點(diǎn)：1.圓的方程；2.直線與圓的位置關(guān)系.