Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n∈N^•，n≥2）且a₃=95．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)t，使得b_n=

1

3n

（a_n+t）（n∈N）且{b_n}為等差數(shù)列？若存在，求出t的值，如不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）數(shù)列{a_n}滿足a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n∈N^•，n≥2）且a₃=95．分別令n=3，2，解出即可．
（2）由a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n∈N^•，n≥2），變形為

an

3n

-

an-1

3n-1

=1-

1

3n

，利用“累加求和”可得a_n=

(2n+1)•3n+1

2

．．假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)t，使得b_n=

1

3n

（a_n+t）（n∈N）且{b_n}為等差數(shù)列．b_n+1-b_n=一個(gè)常數(shù)即可．
（3）由（2）可得：a_n=

(2n+1)•3n+1

2

．．可得數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=

n

2

+

1

2

[3×3+5×32+7×33+…+（2n+1）×3ⁿ]．，設(shè)T_n=3×3+5×3²+…+（2n+1）×3ⁿ，利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n∈N^•，n≥2）且a₃=95．
令n=3時(shí)，a3=3a2+33-1=95，解得a₂=23．
令n=2時(shí)，a2=3a1+32-1=23，解得a₁=5．
∴a₂=23，a₁=5．
（2）由a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n∈N^•，n≥2），變形為

an

3n

-

an-1

3n-1

=1-

1

3n

，
∴

an

3n

=(

an

3n

-

an-1

3n-1

)+(

an-1

3n-1

-

an-2

3n-2

)+…+(

a2

32

-

a1

3

)+

a1

3

=(1-

1

3n

)+(1-

1

3n-1

)+…+(1-

1

32

)+

5

3

=（n-1）-

1 9 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

+

5

3

=

2n+1

2

+

1

2

×

1

3n

，
∴a_n=

(2n+1)•3n+1

2

．
假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)t，使得b_n=

1

3n

（a_n+t）（n∈N）且{b_n}為等差數(shù)列．
則b_n+1-b_n=

1

3n+1

(an+1+t)-

1

3n

(an+t)=

1

3n+1

(an+1+t-3an-3t)=

1

3n+1

(3n+2-2t)，
當(dāng)t=0時(shí)，b_n+1-b_n=3為一個(gè)常數(shù)．
因此存在一個(gè)實(shí)數(shù)t=0，使得b_n=

1

3n

（a_n+t）（n∈N）且{b_n}為等差數(shù)列．
（3）由（2）可得：a_n=

(2n+1)•3n+1

2

．．
∴數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=

n

2

+

1

2

[3×3+5×32+7×33+…+（2n+1）×3ⁿ]．
設(shè)T_n=3×3+5×3²+…+（2n+1）×3ⁿ，
則3T_n=3×3²+5×3³+…+（2n-1）×3ⁿ+（2n+1）×3ⁿ⁺¹，
∴-2T_n=3×3+2×3²+2×3³+…+2×3ⁿ-（2n+1）×3ⁿ⁺¹=3+2×

3(3n-1)

3-1

-（2n+1）×3ⁿ⁺¹=-2n×3ⁿ⁺¹，
∴T_n=n×3ⁿ⁺¹．
∴數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=

n

2

+n×3ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推式的應(yīng)用、“累加求和法”、“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列的定義、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．