Question

1．在（2+$\sqrt{x}$-$\frac{1}{{x}^{2006}}$）¹⁰的展開式中，x⁴項的系數(shù)為180．

Answer 1

分析 （2+$\sqrt{x}$-$\frac{1}{{x}^{2006}}$）¹⁰的展開式中，T_r+1=${∁}_{10}^{r}$$（2+\sqrt{x}）^{r}（-\frac{1}{{x}^{2006}}）^{10-r}$，必須10-r=0，解得r=10．T₁₁=${∁}_{10}^{10}$$（2+\sqrt{x}）^{10}$，再利用$（2+\sqrt{x}）^{10}$的通項公式即可得出．

解答 解：（2+$\sqrt{x}$-$\frac{1}{{x}^{2006}}$）¹⁰的展開式中，T_r+1=${∁}_{10}^{r}$$（2+\sqrt{x}）^{r}（-\frac{1}{{x}^{2006}}）^{10-r}$，
必須10-r=0，解得r=10．
∴T₁₁=${∁}_{10}^{10}$$（2+\sqrt{x}）^{10}$，
$（2+\sqrt{x}）^{10}$的通項公式T_k+1=${∁}_{10}^{k}{2}^{10-k}（\sqrt{x}）^{k}$=2^10-k${∁}_{10}^{k}$${x}^{\frac{k}{2}}$，
令$\frac{k}{2}$=4，解得k=8．
∴在（2+$\sqrt{x}$-$\frac{1}{{x}^{2006}}$）¹⁰的展開式中，x⁴項的系數(shù)為1×${2}^{2}{∁}_{10}^{8}$=180
故答案為：180．

點評 本題考查了二項式定理的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．