Question

【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知橢圓的離心率,左頂點為,過點作斜率為的直線交橢圓于點,交軸于點.

(1)求橢圓的方程;

(2)已知為的中點,是否存在定點,對于任意的都有,若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由;

(3)若過點作直線的平行線交橢圓于點,求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）橢圓的標準方程為；（2）定點的坐標為.（3）當時, 的最小值為.

【解析】試題分析：(1)由橢圓的離心率,左頂點為易得結(jié)論;(2)直線的方程為,聯(lián)立橢圓方程消去y,由根與系數(shù)的關(guān)系,求出點P坐標,根據(jù)題意,則結(jié)論易得;(3)設(shè)的方程可設(shè)為,聯(lián)立橢圓方程,求出點M坐標, =,結(jié)合基本不等式求解即可.

試題解析：

(1) 橢圓的離心率,左頂點為

,

==

橢圓的標準方程為.

(2)直線的方程為,

由消元得=

==

當時, = =

,

點為的中點,

的坐標為

則=

直線的方程為,

令,得點坐標為

假設(shè)存在定點使得,

則,即=恒成立,

恒成立,

,即,

定點的坐標為

(3) ,

的方程可設(shè)為.

由,得點的橫坐標為=

由,

得====,

當且僅當=即時取“=”,

當時, 的最小值為.