Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，證明：在定義域上為減函數(shù)；

（2）若時，討論函數(shù)的零點(diǎn)情況.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)時，函數(shù)沒有零點(diǎn)； 當(dāng)或時，函數(shù)有一個零點(diǎn)；當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點(diǎn).

【解析】

試題分析：（1）先求函數(shù)的定義域，再求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令令，則，由此可得，即即，，可證結(jié)論成立；（2），構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，畫出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合零點(diǎn)情況.

試題解析： （1）由題意可知函數(shù)的定義域為

.

令，則，

當(dāng)時，；當(dāng)時，；

∴，即，

∴，∴在定義域上為減函數(shù).

（2）函數(shù)的零點(diǎn)情況，即方程的根情況，

∵，∴方程可化為，

令，則，

令，可得，

當(dāng)時，；當(dāng)時，；

∴，且當(dāng)時，；當(dāng)時，.

∴的圖象大致如圖示：

當(dāng)時，方程沒有根，

當(dāng)或時，方程有一個根，

當(dāng)時，方程有兩個根.

∴當(dāng)時，函數(shù)沒有零點(diǎn)；

當(dāng)或時，函數(shù)有一個零點(diǎn)；

當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點(diǎn).