Question

11．已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，a₃=5，a₄=2a₂+a₁．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n．
（i）求T_n；
（ii）若T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列，m＞1，求正整數(shù)m，n的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₃=5，a₄=2a₂+a₁，可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=5}\\{{a}_{1}+3d=2（{a}_{1}+d）+{a}_{1}}\end{array}\right.$，解得即可得出．
（2）（i）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用“裂項求和”即可得出．
（ii）由于T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列，m＞1，可得${T}_{m}^{2}$=T₁•T_n，化為：$\frac{3}{n}$=$\frac{-2{m}^{2}+4m+1}{{m}^{2}}$＞0，化為2m²-4m-1＜0，解出即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₃=5，a₄=2a₂+a₁，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=5}\\{{a}_{1}+3d=2（{a}_{1}+d）+{a}_{1}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=2}\end{array}\right.$，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）（i）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{n}{2n+1}$．
（ii）∵T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列，m＞1，
∴${T}_{m}^{2}$=T₁•T_n，
∴$（\frac{m}{2m+1}）^{2}$=$\frac{1}{3}×$$\frac{n}{2n+1}$，
化為：$\frac{3}{n}$=$\frac{-2{m}^{2}+4m+1}{{m}^{2}}$＞0，
化為2m²-4m-1＜0，
解得：$1-\frac{\sqrt{6}}{2}＜m＜1+\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴正整數(shù)m=2，n=12．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法、一元二次不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．