Question

3．為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500名老年人，結(jié)果如下：

性別 是否需要志愿者	男	女
需要	40	30
不需要	160	270

（1）估計(jì)該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；
（2）能夠有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，能否提出更好的調(diào)查方法來估計(jì)該地區(qū)的老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例？說明理由．

Answer 1

分析 對(duì)（1）根據(jù)列聯(lián)表可求得需要志愿者提供幫助的老年人人數(shù)，再求比例；
對(duì)（2）計(jì)算K²，同臨界值表進(jìn)行比較，得到有多大把握認(rèn)為老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)；
對(duì)（3）計(jì)算男、女需要提供幫助的比例，來判斷分層抽樣是否更切合實(shí)際．

解答 解：（1）調(diào)查的500位老人中有70位需要志愿者提供幫助，因此該地區(qū)老年人中，需要幫助的老年人的比例的估算值為$\frac{70}{500}$=14%．
（2）${K}^{2}=\frac{500×（40×270-30×160）^{2}}{200×300×70×430}$=9.967，由于9.967＞6.635，所以有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān)．
（3）由（2）得結(jié)論知，該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān)，并且從樣本數(shù)據(jù)中能看出該地區(qū)男性老年人比女性老年人中需要幫助的比例有明顯差異，因此在調(diào)查時(shí)，先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女兩層并采用分層抽樣方法比采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法更好．

點(diǎn)評(píng) 本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)．利用觀測(cè)值K²與臨界值的大小來確定是否能以一定把握認(rèn)為兩個(gè)分類變量有關(guān)系．
其方法是：K≥K₀，解釋為有[1-P（k²≥k₀）]×100%的把握認(rèn)為兩個(gè)分類變量有關(guān)系；K＜K₀，解釋為不能以[1-P（k²≥k₀）]×100%的把握認(rèn)為兩個(gè)分類變量有關(guān)系．