Question

18．已知等比數(shù)列a₁，a₂，a₃的和為定值m（m＞0）且公比為負(fù)數(shù)，則a₁a₂a₃的最小值 為-m³．

Answer 1

分析 設(shè)公比為q＜0，由題意可得：$\frac{{a}_{2}}{q}+{a}_{2}+{a}_{2}q$=m＞0．解得a₂=$\frac{mq}{{q}^{2}+q+1}$，代入可得a₁a₂a₃=$（\frac{m}{q+\frac{1}{q}+1}）^{3}$，利用基本不等式的性質(zhì)可得：$q+\frac{1}{q}$=-$（-q+\frac{1}{-q}）$$≤-2\sqrt{-q•\frac{1}{-q}}$=-2，當(dāng)且僅當(dāng)q=-1時取等號．再利用函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：設(shè)公比為q＜0，
由題意可得：$\frac{{a}_{2}}{q}+{a}_{2}+{a}_{2}q$=m＞0．
則a₂=$\frac{mq}{{q}^{2}+q+1}$，
a₁a₂a₃=$\frac{{a}_{2}}{q}•{a}_{2}•{a}_{2}q$=${a}_{2}^{3}$=$（\frac{mq}{{q}^{2}+q+1}）^{3}$=$（\frac{m}{q+\frac{1}{q}+1}）^{3}$，
∵$q+\frac{1}{q}$=-$（-q+\frac{1}{-q}）$$≤-2\sqrt{-q•\frac{1}{-q}}$=-2，當(dāng)且僅當(dāng)q=-1時取等號．
∴a₁a₂a₃=$（\frac{m}{q+\frac{1}{q}+1}）^{3}$≥（-m）³=-m³，
故答案為：-m³．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．