Question

9．已知定義在集合A上的函數(shù)f（x）=log₂（x-1）+log₂（2x+1），其值域?yàn)椋?∞，1]，則A=$（1，\frac{3}{2}]$．

Answer 1

分析 由題意和真數(shù)大于零列出不等組，求出函數(shù)f（x）的定義域，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)解析式，由設(shè)t=2x²-x-1，由函數(shù)的值域和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出集合A．

解答 解：由題意得，$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{2x+1＞0}\end{array}\right.$，解得x＞1，
則函數(shù)f（x）的定義域是（1，+∞），
又f（x）=log₂（x-1）+log₂（2x+1）=log₂（x-1）（2x+1）
=log₂（2x²-x-1），
設(shè)t=2x²-x-1，∵值域?yàn)椋?∞，1]，∴t≤2，則2x²-x-1≤2，
即2x²-x-3≤0，解得$-1≤x≤\frac{3}{2}$，
∴集合A=$（1，\frac{3}{2}]$，
故答案為：$（1，\frac{3}{2}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查換元法的應(yīng)用．