Question

6．已知點(diǎn)F是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)，點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若$\overrightarrow{EA}$•$\overrightarrow{EB}$＞0，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是（1，2）．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{EA}$•$\overrightarrow{EB}$＞0，可得∠AEB為銳角，即|AF|＜|EF|，將此式轉(zhuǎn)化為關(guān)于a、c的不等式，化簡(jiǎn)整理即可得到該雙曲線的離心率e的取值范圍．

解答 解若$\overrightarrow{EA}$•$\overrightarrow{EB}$＞0，即cos∠AEB＞0，則∠AEB為銳角，
由此可得Rt△AFE中，∠AEF＜45°，得|AF|＜|EF|
令x=-c，則y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=±$\frac{^{2}}{a}$，
可得|AF|=$\frac{^{2}}{a}$，|EF|=a+c，
∴$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{a}$＜a+c，即c-a＜a
即c＜2a，解之得1＜e＜2．
∴該雙曲線的離心率e的取值范圍是（1，2）．
故答案為：（1，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線離心率的范圍，著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．